Question

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）利用換元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，（t∈R），從而可得函數f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定義域為R，可求函數的定義域，先證奇偶性：代入f（-x）=

1

a2-1

(

1

ax

-ax)=-f(x)，從而可得函數為奇函數
（3）再證單調性：利用定義任取x₁＜x₂，利用作差比較f（x₁）-f（x₂）的正負，從而確當f（x₁）與f（x₂）的大小，進而判斷函數的單調性

解答：解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，4分）
所以f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）（6分）
（2）因為f（x）定義域為R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函數f（x）為奇函數（9分）
（3）任取x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（ax2-ax1）（1+a-(x1+x2)）（11分）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a-(x1+x2)＞0
①當a＞1時，a²-1＞0，ax2-ax1＞0，則有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②當0＜a＜1時，a²-1＜0．，ax2-ax1＜0，則有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）為增函數（13分）

點評：本題重點考查了函數性質的三點：①利用換元法求函數的解析式，這是求函數解析式中最為重要的方法，要注意掌握，解答此類問題的注意點：換元后要確定新元的范圍，從而可得所要求的函數的定義域②函數奇偶性的判斷，解題的關鍵是利用奇偶性的定義③利用定義判斷函數單調性的步驟（i）任設x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定號，給出結論．