Question

已知函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）當a=-時，討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數f（x）進行求導，然后將a的值代入，根據導函數大于0時原函數單調增，導函數小于0時原函數單調減，可判斷函數的單調性．
（2）根據（1）中的導函數，可判斷x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根，進而得到函數由極值的充要條件，求出a的范圍．
解答：解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
當a=-時，f′（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=，x₃=2．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在（0，），（2，+∞）內是增函數，在（-∞，0），（，2）內是減函數．

（2）f′（x）=x（4x²+3ax+4），顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
為使f（x）僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解此不等式，得-≤a≤．
這時，f（0）=b是唯一極值．
因此滿足條件的a的取值范圍是[-，]．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數是高等數學下放到高中，是高考的熱點問題，每年必考要給予重視．