Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=（m＜0），直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象的切點橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及m的值；
（2）若h（x）=f（x）-g'（x）（其中g'（x）是g（x）的導函數），求h（x）的單調區是及最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用直線方程與曲線方程組成的方程有唯一解求得m．從而問題解決．
（2）令h'（x）=0求出x的值為x=1，分兩種情況討論h'（x）的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性即可得到函數的最小值．
解答：解：（1）由題意可知直線l與函數f（x）=lnx相切于（1，0）．∵
∴切線斜率k=f'（1）=1∴切線l的方程為y=x-1
又∵．
即方程有一個解．∴∴m=-2
（2）由（1）可知∴g'（x）=x-2，∴
由h'（x）=0，得x=1，h'（x）及h（x）的變化如下表

故h（x）的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞），h（x）_max=h（1）=1，無最小值．
點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．靈活運用分類討論的數學思想解決數學問題．