Question

已知雙曲線c：

x2

2

-y2=1，設直線l過點A(-3

2

，0)，
（1）當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l與m的距離；
（2）證明：當k＞

2

2

時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為

6

．

Answer 1

分析：（1）先求出雙曲線的漸近線方程，進而可得到直線l的斜率，然后根據直線l過點A(-3

2

，0)求出直線l的方程，再由平行線間的距離公式可求直線l的方程及l與m的距離．
（2）設過原點且平行于l的直線方程利用直線與直線的距離求得l與b的距離，當k＞

2

2

時，可推斷出d＞

6

，利用雙曲線的漸近線方程可知雙曲線C的右支在直線b的右下方，進而推斷出雙曲線C的右支上的任意點到直線l的距離大于

6

，進而可知故在雙曲線C的右支上不存在點Q（x₀，y₀）到到直線l的距離為

6

．

解答：解：（1）雙曲線C的漸近線m：

x

2

±y=0，
即x±

2

y=0∴
直線l的方程x±

2

y+3

2

=0
∴直線l與m的距離d=

3 2

1+2

=

6

．

（2）設過原點且平行于l的直線b：kx-y=0，
則直線l與b的距離d=

3 2 |k|

1+k2

，
當k＞

2

2

時，d＞

6

．
又雙曲線C的漸近線為x±

2

y=0，
∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，
∴雙曲線C的右支上的任意點到直線l的距離大于

6

．
故在雙曲線C的右支上不存在點Q（x₀，y₀）到到直線l的距離為

6

．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．