Question

【題目】如圖，在三棱柱，中，側面是菱形，是中點，平面，平面與棱交于點，．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）若與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）由已知可得平面，由線面平行的性質定理，可得，再由面面平行的性質定理，可證，即可證明結論；

（2）根據已知可得兩兩互相垂直，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，，確定出點坐標，求出平面法向量坐標，由空間向量的線面角公式，建立關系，即可求解.

（1）證明：在三棱柱中，側面為平行四邊形，

所以，又因為平面，平面，

所以平面，因為平面，

且平面平面，所以．

因為在三棱柱中，平面平面，

平面平面，平面平面．

所以，故四邊形為平行四邊形．

（2）在中，因為，

是的中點，所以．

因為平面，所以，，

以，，所在直線分別為軸，軸，軸，

建立如圖空間直角坐標系．

設，，在中，，

，所以，所以，

，，，

則所以，．

因為，所以，

即．因為，所以．

設平面的法向量為．

因為，即，所以．

令，則，，所以．

因為，

所以，即，

所以或，即或，

所以或．