Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）設l與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）若定點P（1，1）分弦AB為

AP

PB

=

1

2

，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程得到圓心坐標和半徑，然后由點到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，利用不等式放縮后得到圓心到直線的距離和半徑的關系，從而得到答案；
（2）由已知得到直線過定點P（1，1），設出AB中點M的坐標，分M與P重合和不重合結合直角三角形中的勾股定理得弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）把線段的長度比轉化為兩個想兩件的關系，由向量的坐標運算得到A，B兩點橫坐標間的關系，聯立直線與圓的方程化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系得到A，B兩點橫坐標的和，求出其中一點的橫坐標，最后再代入關于x的方程得到關于m的方程，求解得到m的值，則直線方程可求．

解答：解：（1）圓C：x²+（y-1）²=5的圓心為C（0，1），半徑為

5

．
∴圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離d=

|-m|

m2+1

≤

|m|

|2m|

=

1

2

＜

5

∴直線l與圓C相交；
（2）由直線方程mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，可知直線l過定點P．
當M與P不重合時，連結CM、CP，則CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²
設M（x，y）（x≠1），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化簡得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）；
當M與P重合時，x=1，y=1也滿足上式．
故弦AB中點的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AP

PB

=

1

2

，得

AP

=

1

2

PB

，
∴1-x1=

1

2

(x2-1)，化簡的x₂=3-2x₁…①
又由

mx-y+1-m=0 x2+(y-1)2=5

，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x1+x2=

2m2

1+m2

…②
由①②解得x1=

3+m2

1+m2

，代入（*）式解得m=±1，
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0．

點評：本題考查了與直線有關的動點的軌跡方程，考查了直線與圓的關系，體現了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，考查了學生的靈活處理問題的能力和計算能力，是中高檔題．