Question

在平面直線坐標系，xOy中，直線l與拋線y²＝2x相交于A、B兩點．

(1)求證：如果直線l過點(3，0)，那么·＝3”是真命題．

(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設l：x＝ty＋3，代入拋物線y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0． 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6， ·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2 　�。絫2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2 　�。剑�6t2＋3t·2t＋9－6＝3． 　　∴·＝3，故為真命題． 　　(2)解：(1)中命題的逆命題是：若·＝3，則直線l過點(3，0)是假命題． 　　設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝2x，消去x得 　　y2－2ty－2b＝0． 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b． 　　∵·＝x1x2＋y1y2 　�。�(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 　�。絫2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 　�。剑�2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b． 　　令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1． 　　此時直線l過點(3，0)或(－1，0)． 　　故逆命題為假命題． 　　點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系、平面向量的數量積運算及四種命題，考查運算能力及利用所學知識與方法解決問題的能力．