Question

已知在x=1與處都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若對時，f（x）＜c恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，∴，
∵在x=1與處都取得極值，
∴f'（1）=0，．∴，解得；
（2）由（1）可知，
令，解得x=1或，
∵，∴f（x）在上單調遞減，在上單調遞增．
，而 ，
所以，即f（x）在上的最大值為．
對時，f（x）＜c恒成立，等價于f（x）_max＜c，即-＜c，
所以實數c的取值范圍為c＞-．
分析：（1）求出f′（x），由題意可得f'（1）=0，．解此方程組即得a，b值；
（2）對時，f（x）＜c恒成立，等價于f（x）_max＜c，利用導數即可求得f（x）的最大值；
點評：本題考查利用導數求函數的最值、函數在某點取得極值的條件，考查函數恒成立問題，轉化為求函數最值是解決函數恒成立問題的常用方法．