Question

已知三點P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓標準方程；
（Ⅱ）設點P、F₁、F₂關于直線y=x的對稱點分別為P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′為焦點且過點P′的雙曲線的標準方程．

Answer 1

（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
其半焦距c=6
2a=|PF1|+|PF2|=

112+22

+

12+22

=6

5

∴a=3

5

，b²=a²-c²=9．
所以所求橢圓的標準方程為

x2

45

+

y2

9

=1
（2）點P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
關于直線y=x的對稱點分別為點P′（2，5）、F₁′（0，-6）、F₂′（0，6）．
設所求雙曲線的標準方程為

y2

a 21

-

x2

b 21

=1(a1＞0，b1＞0)
由題意知，半焦距
c₁=6，2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=|

112+22

-

12+22

|=4

5

a1=2

5

，
b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16．
所以所求雙曲線的標準方程為

y2

20

-

x2

16

=1．