Question

22.已知復數(shù)z­­­₀=1－mi（m>0），z=x+yi和w=x′+y′i，其中x，y，x′，y′均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復數(shù)z，有w=·，|w|=2|z|.

（1）試求m的值，并分別寫出x′和y′用x、y表示的關(guān)系式；

（2）將（x，y）作為點P的坐標，（x′，y′）作為點Q的坐標，上述關(guān)系式可以看作是坐標平面上點的一個交換；它將平面上的點P變到這一平面上的點Q.已知點P經(jīng)該變換后得到的點Q的坐標為（，2），試求點P的坐標；

（3）若直線y=kx上的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上，試求k的值.

Answer 1

22.

解：（1）由題設(shè)，|w|=||=|z₀||z|=2|z|，∴|z₀|=2，

于是由1+m²=4，且m>0，得m=.                        

因此由x′+y′i=·=x+y+（x－y）i.

得關(guān)系式.                              

 

（2）由題意，有                    

解得.

即P點的坐標為（，）.                    

 

（3）∵直線y=kx上的任意點P（x，y），其經(jīng)變換后的點Q（x+y，x－y）仍在該直線上，

∴x－y=k（x+y），

即（k+1）y=（－k）x.                   

解法一：∵當k=0時，y=0，y=x不是同一條直線，

∴k≠0，

于是=.                           

即k²+2k－=0，

解得k=或k=－.   

 

解法二：取直線y=kx上的點（1，k），

得（k+1）k=－k，

即k²+2k－=0，

得k=或k=－.                         

經(jīng)檢驗，y=或y=－x確實滿足條件。