Question

設x，y滿足約束條件

x+y≥3 x-y≥1 2x-y≤3

，若目標函數z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）的最大值為10，則5a+4b的最小值為

8

．

Answer 1

分析：畫出可行域、，將目標函數變形，數形結合求出目標函數的最大值，得到a，b的關系，兩式相乘湊成利用基本不等式的條件，利用基本不等式求最值

解答：解：畫出可行域
將z=

1

a

x+

1

b

y變形為y=-

b

a

x+bz，則bz為直線在y軸上的截距
∵b＞0，則當截距越大，z也越大，結合圖象可知將其平移至點A時縱截距最大，z最大
由

x-y=1 y=2x-3

可得A（4，5）
將A（4，5）代入z=

1

a

x+

1

b

y得到z最大值

4

a

+

5

b

=10
∴5a+4b=

1

10

×(

4

a

+

5

b

)•（5a+4b）
=

1

10

（40+

16b

a

+

25a

b

）≥

1

10

(40+2

16b a • 25a b

)=8
當且僅當

16b

a

=

25a

b

即b=

5a

4

即a=

4

5

，b=1時取等號
故答案為8

點評：本題考查線性規劃問題、畫出可行域、將目標函數賦予幾何意義、數形結合求最值、利用基本不等式求最值