Question

（2012•藍山縣模擬）已知f （x）=m^x（m為常數，m＞0且m≠1）．設f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），…（n∈N）是首項為m²，公比為m的等比數列．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若b_n=a_n f （a_n），且數列{b_n}的前n項和為S_n，當m=3時，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）lgf （a_n），問是否存在m，使得數列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f （x）=m^x（m為常數，m＞0且m≠1）．代入a_n，求出a_n的表達式，利用等差數列的定義，證明數列{a_n}是等差數列；
（2）通過b_n=a_n f （a_n），且數列{b_n}的前n項和為S_n，當m=3時，求出S_n的表達式，利用錯位相減法求出S_n；
（3）利用c_n=f（a_n）lgf （a_n），要使c_n≥c_n+1對一切n∈N^*成立，推出m，n的關系式，通過m＞1，0＜m＜1結合一切n∈N^*，數列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項，推出m的取值范圍；

解答：解：（1）由題意f （a_n）=m²•m^n-1，即m^a_n=mⁿ⁺¹．
∴a_n=n+1，∴a_n+1-a_n=1，∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．
（2）由題意b_n=a_nf （a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
當m=3時，b_n=（n+1）•3ⁿ⁺¹，∴S_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+（n+1）•3ⁿ⁺¹…①，
①式兩端同乘以3得，3S_n=2•3³+3•3⁴+4•3⁵+…+（n+1）•3ⁿ⁺²…②
②-①并整理得，
2S_n=-2•3²-3³-3⁴-3⁵-…-3ⁿ⁺¹+（n+1）•3ⁿ⁺²=-3²-（3²+3³+3⁴+3⁵+…+3ⁿ⁺¹）+（n+1）•3ⁿ⁺²
=-32-

32(1-3n)

1-3

+（n+1）•3ⁿ⁺²=-9+

9

2

 （1-3ⁿ）+（n+1）•3ⁿ⁺²=（n+

1

2

）3ⁿ⁺²-

9

2

．
∴S_n=

1

4

（2n+1）3ⁿ⁺²-

9

4

．
（3）由題意c_n=f （a_n）•lg f （a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n≥c_n+1對一切n∈N*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm≥（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對一切n∈N^*成立，
當m＞1時，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤

n+1

n+2

對一切n∈N^*成立，
因為

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值為

2

3

，所以m≤

2

3

，與m＞1不符合，即此種情況不存在．
②當0＜m＜1時，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥

n+1

n+2

對一切n∈N^*成立，所以

2

3

≤m＜1．
綜上，當

2

3

≤m＜1時，數列{c_n}中每一項恒不小于它后面的項．

點評：本題考查數列的定義的應用，錯位相減法，數列與函數相結合，恒成立問題的綜合應用，考查分析問題解決問題，轉化思想的應用，知識面廣，運算量大．