Question

設△ABC的三個內角A，B，C對邊分別是a，b，c，已知

a

sinA

=

b

3 cosB

，
（1）求角B；
（2）若A是△ABC的最大內角，求cos(B+C)+

3

sinA的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由正弦定理求得a和b的關系式，與題設等式聯立求得sinB=

3

cosB，進而求得tanB的值，則B的值可求．
（2）利用誘導公式把cos（B+C）轉化成-cosA，然后利用兩角和公式整理，利用正弦函數的性質和A的范圍求得原式的最大和最小值．

解答：解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

，
又因為

a

sinA

=

b

3 cosB

，所以sinB=

3

cosB，
所以tanB=

3

，又因為0＜B＜π，所以B=

π

3

．
（2）在△ABC中，B+C=π-A，
所以cos(B+C)+

3

sinA=

3

sinA-cosA=2sin(A-

π

6

)，
由題意，得

π

3

≤A＜

2π

3

，

π

6

≤A-

π

6

＜

π

2

，
所以sin（A-

π

6

）∈[

1

2

，1)，即2sin（A-

π

6

）∈[1，2），
所以cos(B+C)+

3

sinA的取值范圍[1，2）．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，正弦定理的運用和兩角和公式的化簡求值．要求學生對三角函數的基本性質如單調性，值域，對稱性等知識熟練掌握．