Question

（2012•東城區模擬）已知函數：f(x)=x-(a+1)lnx-

a

x

(a∈R)，g(x)=

1

2

x2+ex-xex
（1）當x∈[1，e]時，求f（x）的最小值；
（2）當a＜1時，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的定義域，求導數f′（x），得其極值點，按照極值點a在[1，e]的左側、內部、右側三種情況進行討論，可得其最小值；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，由（1）知f（x）在[e，e²]上遞增，可得f（x）_min，利用導數可判斷g（x）在[-2，0]上的單調性，可得g（x）_min，由 f（x）_min＜g（x）_min，可求得a的范圍；

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

(x-1)(x-a)

x2

(a∈R)，
當a≤1時，x∈[1，e]，f′（x）≥0，f（x）為增函數，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；
當1＜a＜e時，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）為減函數，x∈[a，e]，f′（x）≥0，f（x）為增函數，
所以f（x）_min=f（a）=a-（a+1）lna-1；
當a≥e時，x∈[1，e]，f′（x）≤0，f（x）為減函數，
所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-

a

e

；
綜上，當a≤1時，f（x）_min=1-a；當1＜a＜e時，f（x）_min=a-（a+1）lna-1；當a≥e時，f(x)min=e-(a+1)-

a

e

；
（2）存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，即 f（x）_min＜g（x）_min，
當a＜1時，由（1）可知，x∈[e，e²]，f（x）為增函數，
∴f(x1)min=f(e)=e-(a+1)-

a

e

，
g′（x）=x+e^x-xe^x-e^x=x（1-e^x），
當x∈[-2，0]時g′（x）≤0，g（x）為減函數，g（x）_min=g（0）=1，
∴e-(a+1)-

a

e

＜1，a＞

e2-2e

e+1

，
∴a∈(

e2-2e

e+1

，1)．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、求閉區間上函數的最值，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，恒成立問題往往轉化為函數的最值加以解決．