Question

【題目】設(shè)奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上是減函數(shù)且最大值為﹣5，函數(shù)g（x）= ，其中a＜ ．
（1）判斷并用定義法證明函數(shù)g（x）在（﹣2，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[3，7]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)g（x）在（﹣2，+∞）上是減函數(shù)，

證明如下：

設(shè)﹣2＜x1＜x2，

∵g（x）=a+ ，

∴g（x2）﹣g（x1）

=（a+ ）﹣（a+ ）

=（1﹣2a） ，

∵﹣2＜x1＜x2，

∴ ＜0，

∵a＜ ，∴g（x2）＜g（x1），

∴a＜ 時(shí)，g（x）在（﹣2，+∞）遞減；

（2）解：由題意得：f（x）max=f（﹣7）=﹣5，且f（x）是奇函數(shù)，

∴f（7）=5，即f（x）在區(qū)間[3，7]上的最小值是5，

由（1）得：g（x）在[3，7]上也是減函數(shù)，

∴F（x）min=f（7）+g（7）= ．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）分別求出f（x）和g（x）的最小值，求出F（x）的最小值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值)．