Question

已知m∈R，設p：不等式|m²-5m-3|≥3；q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+）x+6在（-∞，+∞）上有極值．求使p且q為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：對于P命題要利用含絕對值不等式進行等價轉化，并準確利用一元二次不等式求出m的范圍；對于q命題利用導函數(shù)的圖象為二次函數(shù)，進而得到原來函數(shù)在實數(shù)集有極值的m的范圍，再利用復合命題真假值表即可求解
解答：解：由已知不等式得
m²-5m-3≤-3①
或m²-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5；
不等式②的解為m≤-1或m≥6．
所以，當m≤-1或0≤m≤5或m≥6時，p為真命題．
對函數(shù)f（x）=求導得，
f′（x）=3x²+2mx+m+
令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+=0，
當且僅當△＞0時，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
所以，當m＜-1或m＞4時，q為真命題．
綜上所述，使p且q為真命題時，實數(shù)m的取值范圍為
（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．
點評：該題重點考查了復合命題真假值表，另外又考了含絕對值不等式及一元二次不等次解法，在q命題真假的判斷上有考查了導函數(shù)為二次函數(shù)的一元三次函數(shù)在實數(shù)集R存在極值的充要條件