Question

已知拋物線方程為y²=4x，過Q（2，0）作直線l．
①若l與x軸不垂直，交拋物線于A、B兩點，是否存在x軸上一定點E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由？
②若L與X軸垂直，拋物線的任一切線與y軸和L分別交于M、N兩點，則自點M到以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值，試證之．

Answer 1

解：①設l的方程為：y=k（x﹣2），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去
得：，，y₁y₂=﹣8
若∠AEQ=∠BEQ，則k_AE+k_BC=0
即：
y₁x₂+y₂x₁﹣m（y₁+y₂）=0
﹣2（y₁+y₂）﹣m（y₁+y₂）=0
m=﹣2
故存在m=﹣2，使得∠AEQ=∠BEQ
②設P（x₀，y₀）在拋物線上，
由拋物線的對稱性，不妨設y₀＞0，則過P點的切線斜率，
切線方程為：，且（9分）
令，
∴
令，
∴
則以QN為直徑的圓的圓心坐標為，半徑
∴
=
∴