Question

定義在R上的可導函數f（x），當x∈（1，+∞）時，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f(2)，b=

1

2

f(3)，c=(

2

+1)f(

2

)，則a，b，c的大小關系為（　　）

A．c＜a＜b

B．b＜c＜a

C．a＜c＜b

D．c＜b＜a

Answer 1

分析：根據x∈（1，+∞）時，f（x）+f′（x）＜xf′（x），可得g（x）=

f(x)

x-1

在（1，+∞）上單調增，由于

2

＜2＜3，即可求得結論．

解答：解：∵x∈（1，+∞）時，f（x）+f′（x）＜xf′（x）
∴f′（x）（x-1）-f（x）＞0
∴[

f(x)

x-1

]′＞0
∴g（x）=

f(x)

x-1

在（1，+∞）上單調增
∵

2

＜2＜3
∴g（

2

）＜g（2）＜g（3）
∴

1

2 -1

×f(

2

)＜f(2)＜

1

2

f(3)
∴(

2

+1)f(

2

)＜f(2)＜

1

2

f(3)
∴c＜a＜b
故選A．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，確定函數的單調性是關鍵．