Question

如圖10-23，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a.

圖10-23

(Ⅰ)求截面EAC的面積；

(Ⅱ)求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；

(Ⅲ)求三棱錐B₁－EAC的體積.

Answer 1

(Ⅰ)解：如圖10-55，連結DB交AC于O，連結EO.

∵底面ABCD是正方形，

圖10-55

∴DO⊥AC         又∵ED⊥底面AC，        ∴EO⊥AC.

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD＝45°

DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a，

 

故S_△EAC＝a²．

 

(Ⅱ)解：由題設ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC．

 

又A₁A⊥A₁B₁，

 

∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線.

 

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO，

 

∴D₁B∥EO又O是DB的中點.

 

∴E是D₁D的中點，D₁B＝2EO＝2a.

 

∴D₁D＝＝a異面直線A₁B₁與AC間的距離為a.

 

(Ⅲ)方法一：如圖10-56，連結D₁B₁．

圖10-56

∵D₁D＝DB＝a，

 

∴BDD₁B₁是正方形連結B₁D交D₁B于P，交EO于Q

 

∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO．

 

又AC⊥EO，AC⊥ED．

 

∴AC⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，

 

∴B₁D⊥面EAC．∴B₁Q是三棱錐B₁-EAC的高.

 

由DQ＝PQ，得B₁Q＝B₁D＝a

 

∴V_B1－EAC＝·a²·a＝a³．

 

所以三棱錐B₁-EAC的體積是a³.

 

方法二：連結B₁O，則V_B1－EAC＝2V_A－EOB1

 

∵AO⊥面BDD₁B₁，

 

∴AO是三棱錐A-EOB₁的高，AO＝a

 

在正方形BDD₁B₁中，E、O分別是D₁D、DB的中點(如圖10-56)，則S_△EOB1＝a²

 

∴V_B1－EAC＝2··a²·a＝a³.

 

所以三棱錐B₁-EAC的體積是a³.