Question

已知函數f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）求函數f（x）的最小值，并求取得最小值時x的值．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式可得

1-x＞0 x+3＞0

，求出x的范圍，即可求得函數的定義域．
（2）令h（x）=（1-x）（x+3），則f（x）=log

1

2

h(x)，利用二次函數h（x）在（-3，1）上的單調性求得f（x）在（-3，1）上的單調性．
（3）利用函數f（x）的單調性求出函數f（x）的最小值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)，∴

1-x＞0 x+3＞0

．解得-3＜x＜1，故函數的定義域為（-3，1）．
（2）∵f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)=log

1

2

(1-x)(x+3)．
令h（x）=（1-x）（x+3），則二次函數h（x）的圖象開口向下，對稱軸為x=-1．
在（-3，-1）上，h（x） 是增函數，故f（x）=log

1

2

h(x) 是減函數，故f（x）的減區間為（-3，-1）．
在[-1，1）上，h（x） 是減函數，故f（x）=log

1

2

h(x) 是增函數，故f（x）的增區間為[-1，1）．
（3）利用函數f（x）的單調性可得，當x=-1時，函數f（x）取得最小值為-2．

點評：本題主要考查對數型復合函數的性質以及應用，求函數的定義域、最值以及單調區間，二次函數性質的應用，
屬于中檔題．