Question

過點（2，-1）引直線與拋物線y=x²只有一個公共點，這樣的直線共有（　　）條．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：分兩種情況進行討論：①當過點（2，-1）的直線不存在斜率時，容易檢驗；②當過點（2，-1）的直線存在斜率時，設直線方程為y+1=k（x-2），聯立方程組，則方程組一解，消掉y后由△=0即可求得k值，從而求得直線方程；

解答：解：①當過點（2，-1）的直線不存在斜率時，直線方程為x=2，代入y=x²得y=4，此時只有一個交點（2，4）；
②當過點（2，-1）的直線存在斜率時，設直線方程為y+1=k（x-2），
由

y+1=k(x-2) y=x2

，得x²-kx+2k+1=0，令△=k²-4（2k+1）=0，解得k=4±2

5

，
此時直線方程為y+1=（4+2

5

）（x-2）或y+1=（4-2

5

）（x-2），兩直線與拋物線相切，
綜上，滿足條件的直線有3條，
故選C．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，直線與圓錐曲線的公共點個數問題往往轉化為方程組的解的個數進行處理．