Question

對于函數y=f（x），若存在開區間D，同時滿足：①存在t∈D，當x＜t時，函數f（x）單調遞減，當x＞t時，函數f（x）單調遞增；②對任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），則稱y=f（x）為D內的“勾函數”．
（1）證明：函數y=|log_ax|（a＞0，a≠1）為（0，+∞）內的“勾函數”；
（2）若D內的“勾函數”y=g（x）的導函數為y=g′（x），y=g（x）在D內有兩個零點x₁，x₂，求證：＞0；
（3）對于給定常數λ，是否存在m，使函數h（x）=λx³-λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）內為“勾函數”？若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）只證明0＜a＜1．
設0＜a＜1，則f（x）=，
取t=1，則函數f（x）=log_ax在區間（0，1]上單調遞減；f（x）=-log_ax在區間（1，+∞）上單調遞增，因此滿足條件①．
任取x∈（0，1），則1-x，（1+x）∈（0，+∞），而log_a（1-x）-（-log_a（1+x））=＞0，即滿足條件②．
由以上證明可知：當0＜a＜1時，函數y=|log_ax|（1＞a＞0，a≠1）為（0，+∞）內的“勾函數”；
當a＞1時，同理可證．
綜上可知：函數y=|log_ax|（a＞0，a≠1）為（0，+∞）內的“勾函數”；
（2）設勾函數y=g（x）的定義域為（a，+∞）（a＞0），且g（x）在區間（a，t）單調遞減；在區間（t，+∞）內單調遞增；
因為存在兩個零點，設g（x₁）=g（x₂）=0，不妨設x₁＜x₂，由題意可得a＜x₁＜t＜x₂，∴g（t-（t-x₁））＞g（t+t-x₁），化為g（x₁）＞g（2t-x₁），
∴g（x₂）＞g（2t-x₁），
∵g（x）在區間（t，+∞）內單調遞增，∴x₂＞2t-x₁，∴，
∴．
（3）h^′（x）=λ（x-2λ）（x+λ），令h^′（x）=0，解得x=2λ或-λ．
①當λ＞0時，列表如下：
由表格可知：h（x）在區間（-λ，+∞）上滿足“勾函數”的第一個條件；
但是當0＜x＜2λ時，h（2λ-x）-h（2λ+x）=＜0，不滿足“勾函數”的第二個條件．
因此此時函數h（x）表示“勾函數”．
②當λ＜0時，不滿足“勾函數”的第一個條件．
故不存在m使函數h（x）=λx³-λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）內為“勾函數”．
分析：（1）通過對底數a分類討論，利用對數函數的單調性和“勾函數”的定義即可證明結論；
（2）利用“勾函數”的定義及已知條件即可證明；
（3）利用“勾函數”的定義中的兩個條件判斷是否滿足即可．
點評：熟練掌握對數函數的單調性、“勾函數”的定義、利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．