Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c在區間[-2，2]上的最大值、最小值分別為M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={2}，且a≥1，記g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求得c=0；若A={1，2}，則說明f（x）-x=0兩根為1，2．利用韋達定理求a，b，再利用二次函數圖象與性質求解．
（2）若A={2}，得到方程f（x）-x=0有兩個相等的解都為2，根據韋達定理求出a，b，c的關系式，根據a大于等于1，利用二次函數求最值的方法求出在[-2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）根據g（a）的在[1，+∞）上單調增，求出g（a）的最小值為g（1），求出值即可．

解答：解：（1）∵f（0）=2，∴c=2
∵A={1，2}，∴ax²+（b-1）x+2=0有兩根為1，2．
由韋達定理得，

2 a =1×2 1-b a =1+2

∴

a=1 b=-2

∴f（x）=x²-2x+2
∵x∈[-2，2]，∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1
（2）若A={2}，方程ax²+（b-1）x+c=0有兩相等實根x₁=x₂=2，
根據韋達定理得到：2+2=-

b-1

a

，2×2=

c

a

，所以c=4a，b=1-4a，

∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-4a）x+4a，x∈[-2，2]
其對稱軸方程為x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈[

3

2

，2)
∴M=f（-2）=16a-2，m=f（2-

1

2a

）=2-

1

4a

則g（a）=M+m=16a-2+2-

1

4a

=16-

1

4a

又g（a）在區間[1，+∞）上為單調遞增的，
∴當a=1時，g（a）_min=16-

1

4

=

63

4

點評：查學生靈活運用韋達定理解決實際問題，掌握利用數形結合法解決數學問題，會求一個閉區間上二次函數的最值．