Question

17、定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），求證：f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析：欲證f（x）為奇函數(shù)，即證f（-x）=-f（x）對(duì)任意x∈R成立，利用題中條件：“f（x+y）=f（x）+f（y），”使用賦值法：分別令x=y=0，得到f（0）的值；令y=-x結(jié)合f（0）即可得到f（-x）=-f（x），從而問(wèn)題解決．

解答：證明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）對(duì)任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、抽象函數(shù)的奇偶性．函數(shù)雖然抽象，但我們必須掌握其基本方法，結(jié)合定義，使用賦值法．