Question

如圖，已知正四棱錐R－ABCD的底面邊長為4，高為6，點P是高的中點，點Q是側面RBC的重心．求：

(1)異面直線PQ與BR所成的角；

(2)直線PQ與底面ABCD所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解：以正四棱錐的底面中心O為原點，過O平行于AD的直線為x軸建立空間直角坐標系，如圖． 　　則R(0，0，6)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)， 　　∵P是RO的中點，Q是△RBC的重心， 　∴P(0，0，3)，Q(0，，2)． 　　(1)＝(0，，－1)，＝(－2，－2，6)， 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴異面直線PQ與BR所成的角為arccos． 　　(2)方法一：∵RQ⊥底面ABCD， 　　∴RE在底面的射影為OE． 　　∵Q∈RE，∴Q在底面上的射影在OE上． 　　∴PQ在底面上的射影為OE． 　　∴∠REO為PQ與底面ABCD所成的角． 　　∵E(0，2，0)，∴＝(0，2，0)． 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴直線PQ與底面ABCD所成的角是arccos． 　　方法二：平面ABCD的一個法向量為n＝(0，0，1)， 　　∴cos〈，n〉＝． 　　∵〈，n〉為鈍角，∴PQ與平面ABCD所成的角為〈，n〉補角的余角．∴PQ與平面ABCD所成的角為．

提示：

本題考查了異面直線所成的角和直線與平面所成角的求法．通常有兩種方法：(1)“找→求”的常規法；(2)向量法．