Question

用2n個相同的元件（例如整流二極管）組成一個系統，有兩種不同的連接方式，第Ⅰ種是先串聯后并聯，如圖一：第Ⅱ種是先并聯后串聯，如圖二．如果每個元件能否正常工作是相互獨立的，且每個元件能正常工作的概率為r（元件或系統能正常工作的概率通常稱為可靠度）．

（1）分別求出圖一和圖二系統能正常工作的概率P₁和P₂；
（2）請你比較一下兩個系統哪一個更可靠一些（即可靠度更大一些）？并加以證明．

Answer 1

解：（1）對于圖一，有P₁=rⁿ（2-rⁿ）
對于圖二，有P₂=rⁿ（2-r）ⁿ
（2）n=1時，P₁=P₂，n≥2時，（2-r）ⁿ＞2-rⁿ
證明：①n=2時，左邊=4-4r+r²，∵2r＜r²+1，∴左邊＞右邊
②假設n=k（k≥2）時，（2-r）^k＞2-r^k成立，則當n=k+1時，
∵2-r＞r＞0，∴（2-r）^k＞r^k，又0＜r＜1，∴（1-r）[（2-r）^k-r^k]＞0
∴（2-r）^k+1＞（2-r）^k+r^k-r^k+1，
由歸納假設知命題成立，
由①、②知，n≥2時，（2-r）ⁿ＞2-rⁿ．
分析：（1）根據第Ⅰ種是先串聯后并聯；第Ⅱ種是先并聯后串聯，每個元件能否正常工作是相互獨立的，且每個元件能正常工作的概率為r，可知有P₁=rⁿ（2-rⁿ），P₂=rⁿ（2-r）ⁿ
（2）可得結論n=1時，P₁=P₂，n≥2時，（2-r）ⁿ＞2-rⁿ，再用數學歸納法證明．
點評：本題以實際問題為載體，考查概率知識，要注意區分兩種連接方式，并注意數學歸納法的證題步驟．