Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若數列{a_n}滿足a_nf （m）=a_n+1，數列{b_n}滿足b₁=，b_n=f （b_n-1） （n∈N*，n≥2），求數列{b_n}的通項公式；
（2）若m=1，記c_a=a_n（-1），數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜4．

Answer 1

（1）解：由S_n=（1+m）-ma_n得：S_n-1=（1+m）-ma_n-1 （n≥2），相減得：a_n=-ma_n+ma_n-1，
∴=，m≠-1，m為常數，即數列{an}是等比數列，又a_nf （m）=a_n+1，∴f （m）=．
∵b_n=f （b_n-1）=，∴-=1，即{}是首項為2，公差為1的等差數列，
故 =2+（n-1）=n+1，
∴b_n=．（6分）
（2）解：當m=1時，=，a₁=S₁=2-a₁，得：a₁=1，∴a_n=，（8分）
∴c_n=a_n（-1）=n×，
∴T_n=1+2×+3×+…+n×，
=+2+3+…+（n-1）+n，
相減得：=1++++…+-n=-n=2-2-n＜2，
∴T_n＜4． （12分）
分析：（1）由條件可得得：a_n=-ma_n+ma_n-1，即數列{an}是等比數列，又a_nf （m）=a_n+1，得f （m）=．再由b_n=f （b_n-1）=，可得-=1，故{}是首項為2，
公差為1的等差數列，由此求得數列{b_n}的通項公式．
（2）先求出 a_n=，進而求得 c_n=a_n（-1）=n×，再進一步求得T_n=1+2×+3×+…+n×，利用錯位相減法求出T_n的值．
點評：本題主要考查等差數列的通項公式，等比關系的確定，數列與不等式綜合，用錯位相減法進行數列求和，屬于難題．