Question

某單位為普及奧運知識，根據問題的難易程度舉辦A，B兩種形式的知識競猜活動． A種競猜活動規定：參賽者回答6個問題后，統計結果，答對4個，可獲福娃一個，答對5個或6個，可獲其它獎品；B種競猜活動規定：參賽者依次回答問題，答對一個就結束競猜且最多可回答6個問題，答對一個問題者可獲福娃一個．假定參賽者答對每個題的概率均為．
（I）求某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率；
（II）設某人參加B種競猜活動，結束時答題數為η，求Eη．

Answer 1

【答案】分析：（1）參賽者回答6個問題后，統計結果，答對4個，可獲福娃一個，依題意答對一題的概率為，則根據獨立重復試驗公式得到結果．
（2）根據題意得到變量的可能取值，根據變量對應的事件，解出概率，寫出分布列和期望，在解期望時，這幾項的和解題較困難，因此要構造新數列，利用錯位相減得到結果．
解答：解：（I）∵參賽者回答6個問題后，統計結果，答對4個，可獲福娃一個
設事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M，
依題意答對一題的概率為，則根據獨立重復試驗公式得到
P（M）=
=．
（II）依題意，某人參加B種競猜活動，結束時答題數η=1，2，3，4，5，6，
則，
，
，
，
，
．
∴η的分布列是
∴
設，
則
∴=，
∴Eη==．
即某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為；
某人參加B種競猜活動，結束時答題數為η，Eη為．
點評：本題是一個綜合問題，考查離散型隨機變量的分布列和期望并且結合數列求和的問題，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．