Question

在半徑為R的圓內接正六邊形內，依次連接各邊的中點，得一正六邊形，又在這一正六邊形內，再依次連接各邊的中點，又得一正六邊形，這樣無限地繼續下去，
求：（1）前n個正六邊形的周長之和S_n；
（2）所有這些正六邊形的周長之和S．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件知表示正六邊形周長的數列：6R，，，，由此能夠求出前n個正六邊形周長的和與所有這些正六邊形周長的和．
解答：解：如圖，半徑為R的圓內接正六邊形的周長為6R，
設C為AB的中點，連接OC，OB，則OC⊥AB．
∴OC=CD=
第二個正六邊形的周長=
同理可得
第三個正六邊形的周長=，
第四個正六邊形的周長=，
于是可以得到一個表示正六邊形周長的數列：
6R，，，，
①前n個正六邊形周長的和==
②所有這些正六邊形周長的和
點評：本題考查數列的性質和運用，解題時要注意歸納、總結能力的培養．