Question

平面內與兩定點A₁(-a，0)、A₂(a，0)(a＞0)連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A₁、A₂兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線，
(1)求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
(2)當m=-1時，對應的曲線為C₁：對給定的m∈(-1，0)∪(0，+∞)，對應的曲線為C₂．設F₁、F₂是C₂的兩個焦點．試問：在C₁上，是否存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²。若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)設動點為M，其坐標為(x，y)，
當x≠±a時，由條件可得，
即mx²-y²=ma²(x≠±a)，
又A₁(-a，0)、A₂(a，0)的坐標滿足mx²-y²=ma²，
故依題意，曲線C的方程為mx²-y²=ma²，
當m＜-1時，曲線C的方程為，C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=-1時，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點的圓；
當-1＜m＜0時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；
當m＞0時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的雙曲線．
(2)由(1)知，當m=-1時，C₁的方程為x²+y²=a²；
當m∈(-1，0)∪(0，+∞)時，C₂的兩個焦點分別為，
對于給定的m∈(-1，0)∪(0，+∞)，C₁上存在點N(x₀，y₀)(y₀≠0)使得S=|m|a²的充要條件是
，
由①得0＜|y₀|≤a，由②得，
當，即，或時，存在點N，使S=|m|a²；
當，即，或時，不存在滿足條件的點N；
當時，
由，-y₀)，
可得，
令，
則由，
可得，
從而，
于是由S=|m|a²，可得，即，
綜上可得：當時，在C₁上，存在點N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF₂=2；
當時，在C₁上，存在點N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF₂=-2；
當時，在C₁上，不存在滿足條件的點N．