Question

已知函數(shù)(a為實常數(shù)).

(1)若，求證：函數(shù)在(1，+．∞)上是增函數(shù)；

(2)求函數(shù)在[1，e]上的最小值及相應的值；

(3)若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，，當，；

（2）當時，的最小值為1，相應的x值為1；當時，

的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，

相應的x值為．

（3）。

【解析】

試題分析：（1）當時，，當，，

故函數(shù)在上是增函數(shù)．         4分

（2），當，．

若，在上非負（僅當，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時．                6分

若，當時， ；當時，，此時

是減函數(shù)； 當時，，此時是增函數(shù)．故

．

若，在上非正（僅當，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時．    8分

綜上可知，當時，的最小值為1，相應的x值為1；當時，

的最小值為，相應的x值為；當時，的最小值為，

相應的x值為．        10分

（3）不等式，可化為．

∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，

因而（）      12分

令（），又，       14分

當時，，，

從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，

故的最小值為，所以a的取值范圍是．      6分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值；二次函數(shù)的性質；二次含參不等式的解法。

點評：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，一定要先求函數(shù)的定義域；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，實質上就是求導數(shù)大于零或小于零的解集，這樣問題就轉化為解不等式的問題，尤其是含參不等式的解法要注意分類討論。二次含參不等式主要討論的地方有：開口方向，兩根的大小和判別式?。