Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥O時，f ^-1（x）=

x

，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤

1

2

f（x+t）恒成立，則實數x的取值范圍是（　　）

• A．[2，+∞）
• B．[-

  2

  ，-1]∪[0，

  2

  ]
• C．[

  2

  ，+∞）
• D．（0，2]

Answer 1

分析：先利用反函數的求法求出函數f（x）在[0，+∞）上的解析式，再根據奇偶性可得f（x）在R上的解析式，從而得到的函數的單調性，根據f（x）=

1

2

f（

2

x）可化簡不等式，最后根據單調性建立不等關系，從而可求出所求．

解答：解：∵當x≥O時，f ^-1（x）=

x

，
∴當x≥0時，f（x）=x²
∵f（x）是定義在R上的奇函數
∴當x＜0時，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2   x≥0 -x2  x＜0

，
∴f（x）在R上是單調遞增函數，
且滿足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式

1

2

f（x+t）≥f（x）=

1

2

f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，
即：x≤（1+

2

）t在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤（1+

2

）t
解得：t≥

2

，
故選C．

點評：本題主要考查了反函數，以及函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性，屬于中檔題．