Question

已知f(x)=ln

1+x

1-x

，(-1＜x＜1)
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關于x的方程f(x)=ln

1

x

；
（3）解關于x的不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，驗證f（x）與f（-x）的關系即可得到結論；
（2）確定x的范圍，可得一元二次方程，可求方程的解；
（3）確定x的范圍，可得一元一次不等式，可求不等式的解集．

解答：解：（1）函數的定義域為（-1，1）
∵f(-x)=ln

1+x

1-x

=ln

1-x

1+x

=-f(x)
∴f（x）是奇函數；
（2）由題意

-1＜x＜1 x＞0

，∴0＜x＜1
f(x)=ln

1

x

，即

1+x

1-x

=

1

x

∵0＜x＜1，∴x²+2x-1=0
∴x=-1±

2

，
∵0＜x＜1，∴x=

2

-1；
（3）由題意，

-1＜x＜1 1-x＞0 x＞0

，∴0＜x＜1
不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx等價于ln

1+x

1-x

+ln（1-x）＞1+lnx
∴1+x＞ex
∴x＜

1

e-1

∵0＜x＜1，∴0＜x＜

1

e-1

∴不等式的解集為（0，

1

e-1

）．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查對數的運算，考查解方程與不等式，屬于基礎題．