Question

已知點A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）
（I）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（II）求線段BC中點M的坐標
（III）求BC所在直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點A（2，8）在拋物線y²=2px上，將A點坐標代入，易求出參數p的值，代入即得拋物線的方程和焦點F的坐標；
（2）又由，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合，由重心坐標公式，易得線段BC中點M的坐標；
（3）設出過BC中點M的直線方程，根據聯立方程、設而不求、余弦定理易構造關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，進而可以得到直線的方程．
解答：解：（I）由點A（2，8）在拋物線y²=2px上，有8²=2p•2解得p=16
所以拋物線方程為y²=32x，焦點F的坐標為（8，0）

（II）如圖，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點，AM是BC上的中線，由重心的性質可得；
設點M的坐標為（x，y），則解得x=11，y=-4所以點M的坐標為（11，-4）

（III）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸．
設BC所成直線的方程為y+4=k（x-11）（k≠0）
由消x得ky²-32y-32（11k+4）=0
所以由（II）的結論得解得k=-4
因此BC所在直線的方程為y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．
點評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．