Question

【題目】設數列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 設Sn為數列{bn}的前n項和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=bnlog3an ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an ， ∴{an}是公比為3，首項a1=1的等比數列， ∴通項公式為an=3n﹣1 ．
∵2bn﹣b1=S1Sn ， ∴當n=1時，2b1﹣b1=S1S1 ，
∵S1=b1 ， b1≠0，∴b1=1．
∴當n＞1時，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1 ， ∴bn=2bn﹣1 ，
∴{bn}是公比為2，首項a1=1的等比數列，
∴通項公式為bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1 ，
Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①
2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②
①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n
=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n
∴Tn=（n﹣2）2n+2．
【解析】（Ⅰ）判斷an}是等比數列，求出通項公式，判斷{bn}是等比數列，求出通項公式為bn ． （Ⅱ）化簡cn的表達式，利用錯位相減法求解Tn即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．