Question

已知f(x)＝px²－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：依題意，有 　　∴ 　　∴f(3)＝9p－q＝f(2)－(1)． 　　∵－1≤f(2)≤5，∴－≤f(2)≤． 　　－4≤f(1)≤－1，∴≤－f(1)≤． 　　∴－＋≤f(3)≤＋． 　　即－1≤f(3)≤20． 　　當即即時，左邊取等號； 　　當即即時，右邊取等號． 　　分析：可考慮將f(3)寫成f(1)、f(2)的線性組合，即f(3)＝mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的運算性質推算f(3)的取值范圍．

提示：

注：這種類型的題目常見的錯誤是 　　由加減消元得0≤p≤3， 　　1≤q≤7，從而－7≤f(3)＝9p－q≤26． 　　事實上，f(3)不可能取得[－7，26]上的一切值，p、q是兩個相互聯系、相互制約的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味著p、q可以獨立地取得區間[0，3]及[1，7]上的一切值．如取p＝0，q＝7時，p－q＝－7，已不滿足－4≤p－q≤－1． 　　所以用不等式的運算性質求范圍時，盡量只用一次，如果需要多次使用性質時，要考慮等號能否取到，否則可能會出現范圍過大或過小的情況．