Question

【題目】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，且滿足以線段為直徑的圓，圓心為，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）若圓過(guò)點(diǎn)，求直線的方程和圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，

【解析】

（1）依題意得，直線過(guò)點(diǎn)，可設(shè)，與拋物線聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，再根據(jù)圓的性質(zhì)得出，代數(shù)化簡(jiǎn)求出，即可得出拋物線的方程；

（2）因?yàn)閳A的直徑為，且過(guò)點(diǎn)，由圓的性質(zhì)得出，結(jié)合（1）中的韋達(dá)定理，代數(shù)化簡(jiǎn)求得的值，因此得出直線的方程和圓的方程.

（1）設(shè)，，，

聯(lián)立方程有，，

，，

又以線段為直徑的圓，圓心為，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

有，，有，即拋物線的方程為.

（2）由（1）可得，，，

由圓過(guò)點(diǎn)，可得，

故，

故（1）可得，，可得，

解得或者，

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，.