Question

已知橢圓：+=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且過點（，）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點．若=+，點N為線段AB的中點，C（-，0），D（，0），求證：|NC|+|ND|=2．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓長軸長為4，且過點（，），求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（II）證明線段AB的中點N在橢圓上，利用橢圓的定義，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由題意：2a=4，所以a=2，
∵橢圓：+=1過點（，），
∴
∴b²=1
∴所求橢圓方程為；
（II）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∵=+，
∴M（，）
∴
∴
∵點N為線段AB的中點
∴N（，）
∴=
∴線段AB的中點N在橢圓上
∵橢圓的兩焦點為C（-，0），D（，0），
∴|NC|+|ND|=2．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓定義的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．