Question

已知f（x）=-sinωxcosωx+

3

cos²ωx-

3

2

的周期為2π
（I）求f（x）的最大值以及取最大值時x的集合
（II）已知f（α）=

1

3

，且α∈（0，

π

2

），求cos（

5π

6

+2α）

Answer 1

分析：（I）將f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由已知的周期，利用周期公式求出ω的值，確定出f（x）的解析式，由正弦函數的值域即可得出f（x）的最大值，以及取最大值時x的集合；
（II）由第一問確定的函數解析式及f（α）=

1

3

，根據α的范圍求出這個角的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+

2π

3

）的值，利用二倍角的正弦函數公式求出sin（2α+

4π

3

），把所求式子中的角變形并利用誘導公式化簡，將sin（2α+

4π

3

）的值代入即可求出值．

解答：解：（I）f（x）=-

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

2π

3

），
∵T=

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

，
∴f（x）=sin（x+

2π

3

），
∴f（x）的最大值為1，
∵此時x+

2π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ-

π

6

，k∈Z，
則取最大值時x的集合為{x|x=2kπ-

π

6

，k∈Z}；
（II）f（α）=sin（α+

2π

3

）=

1

3

，
∵α∈（0，

π

2

），∴α+

2π

3

∈（

2π

3

，π），
∴cos（α+

2π

3

）=-

2 2

3

，
∴sin（2α+

4π

3

）=2sin（α+

2π

3

）cos（α+

2π

3

）=-

4 2

9

，
則cos（2α+

5π

6

）=cos（2α+

4π

3

-

π

2

）=cos[

π

2

-（2α+

4π

3

）]=sin（2α+

4π

3

）=-

4 2

9

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的圖象與性質，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．