Question

已知方向向量為的直線l過點和橢圓的右焦點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若已知點M，N是橢圓C上不重合的兩點，點D（3，0）滿足，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件求出直線l的方程，找出橢圓的右焦點坐標，再利用橢圓的離心率為，就可求出橢圓C的方程：
（2）把直線MN的方程與橢圓方程聯立找到關于點M，N縱坐標的方程，再利用所給出的點M，N縱坐標之間的關系，二者聯立借助與判別式大于0就可求實數λ的取值范圍．
解答：解：（1）因為直線l的方向向量為所以直線斜率為k=，
又因為直線過點
所以直線方程為y+2=x
因為a＞b，所以橢圓的右焦點為直線與軸的交點，∴橢圓的右焦點為（2，0），所以c=2
∵e==，∴a=，∴b²=a²-c²=2
∴橢圓方程為+=1
（2）由已知設直線MN的方程為x=my+3，
由⇒（m²+3）y²+6my+3=0，設M．N坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
則y₁+y₂=-   ①y₁y₂=     ②
△=36m²-12（m²+3）＞0⇒m²＞
∵=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），，顯然λ＞0且λ≠1
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）∴y₁=λy₂，
代入①②得  =-2=10-，
∵m²＞⇒2＜＜10⇒
解得5-2＜λ＜5+2且λ≠1
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．還涉及到直線的方程與斜率，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力．