Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，最小值及取最小值時相應(yīng)的x值；
（2）如果0≤x≤

π

2

，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的余弦與二倍角的余弦可將f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x轉(zhuǎn)化為f（x）=-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，再逆用兩角和的正弦公式即可求得f（x）=-sin（2x+

π

6

），從而可求其周期，最小值及取最小值時x的值；
（2）由0≤x≤

π

2

⇒

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

⇒-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，從而可得f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
當(dāng)2x-

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
即x=kπ-

π

6

（k∈Z）時，f（x）取得最小值-1．
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴當(dāng)0≤x≤

π

2

時，f（x）的取值范圍為[-

1

2

，1]．

點評：本題考查兩角差的余弦與二倍角的余弦與正弦，考查正弦函數(shù)的定義域與值域，突出逆向思維的應(yīng)用，屬于中檔題．