Question

當x在實數集R上任取值時，函數f（x）相應的值等于2x、2、-2x三個之中最大的那個值．
（1）求f（0）與f（3）；
（2）畫出f（x）的圖象，寫出f（x）的解析式；
（3）證明f（x）是偶函數；
（4）寫出f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f（0）=2，f（3）=6．
（2）f（x）=
（3）當x＞1時，-x＜-1，所以f（-x）=-2（-x）=2x，f（x）=2x，有f（-x）=f（x）；
當x＜-1時，-x＞1，所以f（-x）=2（-x）=-2x，f（x）=-2x，有f（-x）=f（x）；
當-1≤x≤1時，f（-x）=2=f（x）．
綜上所述，對定義域中任意一個自變量x都有f（-x）=f（x）成立．
所以f（x）是偶函數．
（4）觀察圖象得，函數的值域為：[2，+∞）．
分析：（1）當x=0時，分別計算出2x、2、-2x三個之中最大的那個值即為f（0），同理墳出f（3）=6．
（2）先根據函數f（x）相應的值等于2x、2、-2x三個之中最大的那個值利用分段函數的形式寫出f（x）的表達式，再分段畫出其圖象；
（3）當x＞1時，證明f（x）=f（-x）；當當x＜-1時，證明f（x）=f（-x），當-1≤x≤1時，f（-x）=2=f（x）．綜上所述，對定義域中任意一個自變量x都有f（-x）=f（x）成立，從而得出f（x）是偶函數．
（4）觀察圖象得，函數的值域為：[2，+∞）．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、分段函數的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．