Question

設函數f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（）|對一切x∈R恒成立，則
①f（）=0；　②|f（）|＜|f（）|；
③函數y=f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
④函數y=f（x）的單調遞增區間是：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤經過點（a，b）的所有直線均與函數y=f（x）的圖象相交．
以上結論正確的是________（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

①③⑤
分析：由輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x+θ），結合已知不等式得f（）是函數的最大或最小值，從而得到
f（x）=sin（2x++kπ）=±sin（2x+）．再根據三角函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，對各選項逐個加以判斷，可得①③⑤通過證明可得其正確性，而②④存在反例說明它們不正確．
解答：f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），其中角θ滿足cosθ=，sinθ=
∵f（x）≤|f（）|對一切x∈R恒成立，
∴f（）=或-，得2×+θ=+kπ，k∈Z
因此θ=+kπ，k∈Z．f（x）=sin（2x++kπ）=sin（2x+）或-sin（2x+）
對于①，因為sin（2×+）=sin2π=0，所以f（）=±sin（2×+）=0，故①正確；
對于②，|f（）|=|sin（2×+）|=
∵|f（）|=|sin（2×+）|=sin＜
∴|f（）|＞|f（）|，故②不正確；
對于③，根據函數的表達式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函數也不是偶函數，故③正確；
對于④，因為函數的表達式f（x）=sin（2x+）或-sin（2x+），
表達式不確定，故[kπ+，kπ+]（k∈Z）不一定是增區間，故④不正確；
對于⑤，采用反證法
設經過點（a，b）的一條直線與函數y=f（x）的圖象不相交，則此直線與x軸平行
方程為y=b，且|b|＞，平方得b²＞a²+b²矛盾，故假設不成立
∴經過點（a，b）的所有直線均與函數y=f（x）的圖象相交．故⑤正確．
故答案為：①③⑤
點評：本題給出符合已知條件的三角函數表達式，叫我們判斷幾個選項的正確性，著重考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質、兩角和與差的三角函數和反證法等知識，屬于中檔題．