Question

在△ABC中，若acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

，求證：a+c=2b．

Answer 1

分析：利用半角公式把條件化為sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，再由兩角和的正弦公式得sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，由誘導公式可得sinA+sinC=2sinB，再由正弦定理可得a+c=2b．

解答：證明：∵acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

，
∴sinA•

1+cosC

2

+sinC•

1+cosA

2

=

3sinB

2

，
即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，即sinA+sinC=2sinB，
∴a+c=2b．

點評：本題主要考查正弦定理、兩角和的正弦公式，半角公式、誘導公式的應用，屬于中檔題．