Question

已知集合A={x|x²-2ax-8a²＜0}，B={x|x²-5x=m²（x-1）-4，m∈R}．
（Ⅰ）若A=（x₁，x₂）且x₂-x₁=15，求實數a的值；
（Ⅱ）若存在實數m使得B⊆A，求實數a范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A=（x₁，x₂）可知x₁，x₂是方程x²-2ax-8a²=0的兩根，而方程x²-2ax-8a²=0的兩根易求，從而根據x₂-x₁=15可得關于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）分a＞0，a＜0兩種情況進行討論，易求得A，B，根據B⊆A，可得不等式組，解出即可，注意考慮m²+4≥4；

解答：解：（I）A=（x₁，x₂），即A={x|x²-2ax-8a²＜0}=（x₁，x₂），可知x₁，x₂是方程x²-2ax-8a²=0的兩根，
又方程x²-2ax-8a²=0的兩根為-2a和4a，
∴由x₂-x₁=15，可得|-2a-4a|=15，解得a=±

5

2

；
（II）B={x|x²-5x=m²（x-1）-4，m∈R}={m²+4，1}，
由（Ⅰ）知，①當a＞0時，-2a＜4a，A=（-2a，4a），
由B⊆A，得

a＞0 -2a＜1＜4a -2a＜m2+4＜4a

（*），
又m²+4≥4，∴（*）式等價于

a＞ 1 4 4＜4a

，解得a＞1；
②當a＜0時，4a＜-2a，A=（4a，-2a），
由B⊆A，得

a＜0 4a＜1＜-2a 4a＜m2+4＜-2a

（**），
又m²+4≥4，∴（**）式等價于

a＜- 1 2 4＜-2a

，解得a＜-2；
綜上，實數a的取值范圍是：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評：本題考查一元二次不等式的解法和集合的包含關系，考查分類討論思想，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．