Question

已知函數f（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞）．
（1）當a=時，求函數f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=時，f（x）=x²+2x+a為具體函數，比較對稱軸和區間端點的大小，求得函數f（x）的最小值
（2）對稱軸和閉區間都是固定的，就轉化為求函數f（x）在[1，+∞）上的最小值大于0的問題，可求a的取值范圍
解答：解：（1）a=時，f（x）=x²+2x+，
其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=-1，
又∵x∈[1，+∞），
∴f（x）的最小值是f（1）=．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+3．
∵f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
故只需a+3＞0即可，解得a＞-3．
∴實數a的取值范圍是a＞-3．
點評：本題的第二問實質是求二次函數的最值問題，關于給定解析式的二次函數在不固定閉區間上的最值問題，一般是根據對稱軸和閉區間的位置關系來進行分類討論，如軸在區間左邊，軸在區間右邊，軸在區間中間，最后在綜合歸納得出所需結論