Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．
（Ⅰ）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面SBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面SBC的法向量，平面SAD的法向量，然后利用空間向量數(shù)量積公式求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，直接求出異面直線DM與SB對(duì)應(yīng)的向量，利用空間向量數(shù)量積求解異面直線DM與SB所成角的大小；
（Ⅲ）通過(guò)平面的法向量，利用在上的射影公式，直接求點(diǎn)D到平面SBC的距離．
解答：（本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，
又在Rt△SDB中，．      …（1分）
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1）．          …（2分）
設(shè)平面SBC的法向量為，則，，
∵，，
∴，∴可取．            …（4分）
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．     …（5分）
∴，
∴面ASD與面BSC所成二面角的大小為45°．             …（6分）
（Ⅱ）∵，∴，，
又∵，∴DM⊥SB，
∴異面直線DM與SB所成角的大小為90°．             …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量為，∵，
∴在上的射影為，
∴點(diǎn)D到平面SBC的距離為．                    …（12分）
（特別說(shuō)明：用傳統(tǒng)解法每問(wèn)應(yīng)同步給分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，二面角的求法，異面直線所成角的求法，點(diǎn)到平面的距離公式的應(yīng)用，考查空間想象能力與計(jì)算能力．