Question

將正整數2012表示成n個正整數x₁，x₂，x₃，…x_n之和．記s=

1≤i＜j≤n

xi•xj．
（I）當n=2時，x₁，x₂取何值時s有最大值．
（II）當n=5時，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅分別取何值時，s取得最大值，并說明理由．
（III）設對任意的1≤i＜j≤5且|x_i-x_j|≤2，當x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值時，S取得最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（ I）根據 x₁+x₂=2012，利用均值不等式，求得當x₁=x₂=1006時，S有最大值1006²．
（ II）當x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403時，S取得最大值．理由：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012，利用基本不等式可得當這5個數相等時，S取得最大值．
再由這5個數都是正整數，可得S取得最大值時，必有|x_i-x_j|≤1（ 1≤i＜j≤5），從而得到結論．
（ III）由x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012且|x_i-x_j|≤2，存在三種情況．分析可得，只有①x₁=401，x₂=402，x₃=x₄=x₅=403；或 ③x₁=x₂=x₃=x₄=402，
x₅=404時，S取得最小值．

解答：解：（ I）根據 x₁+x₂=2012，利用均值不等式，可得當x₁=x₂=1006時，S有最大值1006²．--------（2分）
（ II）當x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403時，S取得最大值．------（4分）
由x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012，利用基本不等式可得當這5個數相等時，S取得最大值．再由這5個數都是正整數，
可得S取得最大值時，必有|x_i-x_j|≤1（ 1≤i＜j≤5）．-----（8分）
因此當x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403時，S取得最大值．
（ III）由x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2012且|x_i-x_j|≤2，只有①x₁=401，x₂=402，x₃=x₄=x₅=403；
②x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=403； ③x₁=x₂=x₃=x₄=402，x₅=404；三種情況．--------（11分）
而在②時，根據（2）知原式取得最大值；
在①時，設t=402，s=

1≤i＜j≤5

xi•xj=10t²+8t，
在③時，設t=402，s=

1≤i＜j≤5

xi•xj=10t²+8t．
因此在①③時S取得最小值．--------（13分）

點評：本題主要考查絕對值不等式、基本不等式的應用，求函數的最值，屬于中檔題．