Question

某人要建造一間地面面積為24m²、墻高為3m，一面靠舊墻的矩形房屋．利用舊墻需維修，其它三面墻要新建，由于地理位置的限制，房子正面的長度x（單位：m）不得超過a（單位：m）（其平面示意圖如圖）．已知舊墻的維修費用為150元/m²，新墻的造價為450元/m²，屋頂和地面的造價費用合計為5400元（不計門、窗的造價）．
（1）把房屋總造價y（單位：元）表示成x（單位：m）的函數，并寫出該函數的定義域；
（2）當x為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

Answer 1

分析：（1）籬笆由三部分構成，先表示出籬笆的寬，然后把籬笆總造價y元表示成x米的函數，根據籬笆正面的長度x米，不得超過a米，正面有一扇1米寬的門，可求出定義域；
（2）討論a與6的大小，當a＞6時利用基本不等式進行求最值，當1＜a≤6時利用導數法求出最值，注意解題格式即可．

解答：解：（1）依題意得：y=3x（150+450）+

24

x

×2×3×450+5400=1800（x+

36

x

）+5400（0＜x≤a）
（2）y=1800（x+

36

x

）+5400≥1800×2

x• 36 x

+5400=21600+5400=27000   
當且僅當x=

36

x

，即x=6時取等號
若a＞6時，則x=6總進價最低，最低總造價是27000元．
當1＜a≤6時，則y′=1800（1-

36

x2

）
∴當0＜x＜6時，y′＜0，故函數y=1800（x+

36

x

）+5400在（0，a]上是減函數，
∴當x=a時，y有最小值，即最低總造價為1800（a+

36

a

）+5400元
答：當a＞6時，x=6總造價最低，最低總造價是27000元；
當a≤6時，x=a總造價最低，最低總造價為1800（a+

36

a

）+5400元．

點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數學思想，正確構建函數是關鍵．