Question

設函數f（x）=x³+4x
（1）用定義證明f（x）在R上為奇函數；
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）先看f（x）的定義域是否關于原點對稱，再看f（-x）與f（x）是相等還是互為相反數．
（2）先判斷后證明，證明時先在給定的區間上任取兩變量，界定大小，然后作差變形看符號．

解答：解：（1）由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．（2分）
因為f（-x）=（-x）³+4（-x）=-x³-4x=-f（x），
所以f（x）是奇函數（6分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是單調增函數（7分）
證明：任意取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂f（x₁）-f（x₂）=（x₁³-x₂³）+4（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+4）
=(x1-x2)[(x1+

x2

2

)2+

3 x 2 2

4

+4]（11分）
因為x₁＜x₂所以x₁-x₂＜0
因為(x1+

x2

2

)2+

3 x 2 2

4

+4＞0顯然成立
所以f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，+∞）上是單調增函數．（14分）

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性定義的應用．